AUZEF İşletme Matematiği Çıkmış Sorular

İşletme Matematiği; çok değişkenli fonksiyonlar ve kısmi türevleri, matrisler, determinantlar, doğrusal denklem sistemleri, doğrusal programlama ve ulaştırma problemlerini işler. Amaç, işletme sorunlarını matematiksel modele çevirip çözmektir.

Çok değişkenli fonksiyonlar ve tanım kümesi

• Bağımsız değişken sayısı fonksiyondaki değişkenlerin sayısıdır; iki değişkenli fonksiyonda iki bağımsız, bir bağımlı değişken bulunur.
• Karekök içi negatif olamaz; kesirde payda sıfır olamaz. Bu koşullar tanım kümesini belirler.
• Doğal logaritmanın içi pozitif olmalıdır; örneğin x²+y²−9>0 koşulu x²+y²>9 bölgesini verir.
• x²+y²<1 eşitsizliği merkezi orijin, yarıçapı 1 olan dairenin içini gösterir; üç değişkende benzer biçimde kürenin içi veya dışı söz konusudur.

Kısmi türev, ekstremum ve talep ilişkileri

• Kısmi türevde diğer değişken sabit tutulur; ikinci türevlerle fxx·fyy − (fxy)² ifadesi hesaplanır.
• Bu ifadenin işareti ve fxx'in işareti, kritik noktanın yerel maksimum, minimum veya eyer noktası olduğunu belirler.
• Çapraz marjinal talepler (∂q1/∂p2 ve ∂q2/∂p1) pozitifse ürünler ikamedir.
• Bu çapraz türevler negatifse ürünler tamamlayıcıdır; örnekteki talep fonksiyonlarında fiyat artışı diğer talebi düşürdüğü için ürünler tamamlayıcı çıkmıştır.

Matrisler ve işlemleri

• Eşit matrislerde karşılıklı elemanlar birbirine eşitlenir; toplamada da elemanlar tek tek toplanır.
• Çarpımda birinci matrisin satırı ile ikincinin sütunu çarpılıp toplanır.
• Devrik alınırken satırlar sütun, sütunlar satır olur.
• Vektörün boyutu bileşen sayısına eşittir.
• Matrisin kuvveti, art arda çarpma ile bulunur (A³ = A²·A).

Determinant, minör ve kofaktör

• 2x2 determinant: köşegen çarpımı eksi diğer köşegen çarpımı.
• 3x3 determinant bir satır veya sütuna göre açılımla hesaplanır.
• Minör, ilgili satır ve sütun silinince kalan matrisin determinantıdır.
• Kofaktör, minörün (−1)^(i+j) ile çarpılmış halidir.
• Determinantların çarpımı, tek tek determinant değerlerinin çarpımıdır.

Doğrusal denklem sistemleri ve ters matris

• Katsayılar matrisi yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarını içerir; sabitler genişletilmiş matrise girer.
• Denklemler orantılıysa sistem sonsuz çözümlüdür; katsayılar orantılı, sabitler değilse çözümsüzlük olur.
• Bilinmeyen ve denklem sayısının eşit olması tek çözümü garanti etmez.
• Bilinmeyen sayısının fazla olması tek başına çözümsüzlük nedeni değildir.
• Gauss-Jordan yönteminde sol taraf birim matrise getirilir, sağ sütun çözümü verir.
• Ters matris için matrisin kare olması ve determinantının sıfırdan farklı olması gerekir.

Girdi-çıktı analizi

• Üretim vektörü x = (I − A)⁻¹ d formülüyle bulunur.
• A teknolojik matris, d nihai (dış) talep vektörüdür.
• Sonuç, her sektörün üretmesi gereken miktarı verir.

Doğrusal programlama ve simpleks

• Modelin bileşenleri karar değişkenleri, amaç fonksiyonu ve kısıtlardır; 'maksimum kâr' bileşen değil, amaçtır.
• Karar değişkenleri negatif olamaz; doğrusallık ve negatif olmama temel varsayımlardır.
• ≤ kısıta aylak, ≥ kısıttan artık, eşitlik kısıtına yapay değişken eklenir.
• Maksimizasyonda Zj−Cj ≥ 0 olunca çözüm optimaldir; girecek değişken mutlak değerce en büyük negatif değerli sütundur.
• Minimizasyonda girecek değişken Zj−Cj satırındaki en büyük pozitif değerli sütundadır.
• Aylak değişken sıfırdan büyükse kapasite tamamen kullanılmamıştır.

Dual problem ve ulaştırma problemi

• Maksimizasyon primalının duali minimizasyondur ve dual kısıtlar ≥ biçimindedir.
• Gölge fiyat, sağ taraf bir birim artınca amaç değerindeki artışı gösterir.
• Ulaştırmada homojen mal ve birimler varsayılır; heterojen tanımlama varsayım değildir.
• Başlangıç çözümü Vogel gibi yöntemlerle bulunur; optimallik MODI ile sınanır.
• Vogel'de en büyük ceza farkına sahip satır veya sütunda en düşük maliyetli hücreye ilk atama yapılır.
• Bozulmasız çözümde dolu hücre sayısı satır + sütun − 1'dir.

Bağımsız değişken

Fonksiyonda değeri serbestçe seçilen, bağımlı değişkeni belirleyen değişkendir.

Kısmi türev

Diğer değişkenler sabit tutularak tek değişkene göre alınan türevdir.

Eyer (semer) noktası

Kritik noktada ikinci türev ifadesi negatifse nokta ne maksimum ne minimumdur.

İkame ürünler

Birinin fiyatı artınca diğerinin talebi artan ürünlerdir.

Tamamlayıcı ürünler

Birinin fiyatı artınca diğerinin talebi de düşen ürünlerdir.

Minör ve kofaktör

Minör, satır ve sütun silinince kalan determinanttır; kofaktör işaretli minördür.

Katsayılar matrisi

Denklem sisteminde yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan matristir.

Aylak değişken

≤ kısıtı eşitliğe çevirmek için eklenen, kullanılmayan kapasiteyi gösteren değişkendir.

Artık değişken

≥ kısıtı eşitliğe çevirmek için kısıttan çıkarılan değişkendir.

Yapay değişken

Eşitlik kısıtlarında simpleksin başlayabilmesi için eklenen +1 katsayılı değişkendir.

Gölge fiyat

Kaynağın bir birim artmasıyla amaç fonksiyonunda oluşan artıştır.

MODI yöntemi

Ulaştırma çözümünün optimal olup olmadığını sınayan yöntemdir.

• İkame ve tamamlayıcı ürünleri karıştırma: çapraz marjinal talep pozitifse ikame, negatifse tamamlayıcıdır.
• Aylak değişken ≤ kısıta eklenir, artık değişken ≥ kısıttan çıkarılır; eşitlikte yapay değişken kullanılır.
• Girecek değişken kuralı amaca göre değişir: maksimizasyonda en büyük negatif, minimizasyonda en büyük pozitif Zj−Cj.
• Tanım kümesi sorularında karekök, payda ve logaritma koşullarını ayrı ayrı kontrol et; eşitlik mi eşitsizlik mi olduğuna dikkat et.
• 'Her zaman', 'mutlaka', 'kesinlikle' içeren ifadeler (ters matris, tek çözüm, çözümsüzlük) çoğunlukla yanlış seçenektir.