AUZEF Mantık Felsefesi Çıkmış Sorular

Mantık Felsefesi dersi; klasik Aristoteles mantığından Boole, Frege, Russell ve Tarski ile gelişen sembolik mantığa, küme kuramına, paradokslara, Öklid dışı geometrilere ve hesaplanabilirlik tartışmalarına uzanan tarihsel ve kuramsal bir çerçeve sunar.

Klasik mantık ve akıl yürütme

• Tümdengelimde doğru kabul edilen genel önermeden zorunlu olarak özel sonuç çıkarılır; tümevarım ise tek tek gözlemlerden genele gider.
• Kıyas, iki öncülden zorunlu sonuç çıkaran Aristoteles tipi tümdengelimdir.
• Üçüncü hâlin imkânsızlığı: önerme ya doğrudur ya yanlıştır, üçüncü değer yoktur (A v ~A).
• Doğruluk tablosu, bileşik önermenin tüm doğruluk bileşimlerini gösterir; totoloji, çelişki ve olumsallığı belirler.

Boole ve cebirsel mantık

• Boole, Mantığın Matematiksel Analizi (1847) ile mantığı cebirsel denklemlerle ifade etmiştir.
• Düşünce Yasaları (1854) kitabını Russell saf matematiğin keşfedildiği eser saymıştır.
• Boole sistemine özgü ilke x(1 – x) = 0 biçimindedir.
• Hiçbir X, Y değildir önermesi xy = 0 ile; bazı X'ler Y değildir önermesi x(1 – y) = v ile gösterilir.
• İlk sistem kesinlik bakımından eksikti; Jevons, Peirce ve Schröder eksikleri giderdi.

Frege ve mantıkçılık

• Frege, Begriffsschrift (1879) ile modern matematiksel mantığı ve niceleyicilerin yazımını kurmuş, yüklemler mantığının da öncüsü olmuştur.
• Aristoteles mantığına göre temel yenilik, niceleyicilerin değişkenleri bağlayacak biçimde kullanılmasıdır.
• Mantıkçılık, matematiğin yalnızca mantıksal ilkelerden türetilebileceğini savunur; Frege nesneyi soyut varlıkları da kapsayacak biçimde anlar.
• Frege'nin iki boyutlu gösterimi kullanışsız bulunmuş, en yaygın kabul gören sade gösterim Peano'nunki olmuştur.
• Frege tanımlar için yedi ilke koymuştur; aynı imin iki farklı biçimde tanımlanması bu ilkelere aykırıdır.

Russell, paradokslar ve tipler kuramı

• Russell paradoksu Frege'nin sistemindeki çelişkiyi ortaya çıkarmıştır.
• Küme paradokslarının kaynağı kısırdöngüdür.
• Russell, bütünü kapsayan şeyin o bütünün üyesi olmaması ilkesine dayanan tipler kuramını geliştirmiştir.
• Principia Mathematica (1910-1913) Whitehead ile Russell'ın ortak eseridir; amaç matematiği formel mantığa indirgemektir.
• Berry paradoksu, adlandırılması için en az yirmi hece gerektiren en küçük tam sayıyı konu alır.

Hilbert, Gödel, Tarski ve Turing

• Hilbert, Geometrinin Temelleri (1899) ile Öklid geometrisini kesin aksiyom sistemine dayandırmış; integral denklem çalışmaları Hilbert uzayına götürmüştür.
• Gödel'in 1931 Eksiklik Teoremi: aritmetiği içeren tutarlı sistemde ispatlanamayan doğru ifadeler vardır.
• Gödel 1920'lerde Viyana Çevresi toplantılarına katılmıştır.
• Tarski 1936 makalesinde mantıksal sonucu model kavramıyla tanımlamıştır: öncüllerin her modeli sonucun da modeliyse sonuç çıkar.
• Turing makinesi hesaplanabilirliğin soyut modelidir ve bilgisayar biliminin kuramsal temelidir.

Öklid dışı geometri ve postulat

• Postulat, geometride kanıt istemeyen, kendiliğinden açık sayılan önermedir.
• Öklid'e göre bir doğrunun dışındaki noktadan ona yalnızca bir paralel çizilir.
• Saccheri, Kanıtlama Mantığı (1697) eserinde olmayana ergi ile paralellik postulatını kanıtlamaya çalışırken Öklid dışı geometrinin ilk izlerini vermiştir.
• Geniş açı hipotezi Riemann'a aittir: hiç paralel yoktur, doğrular kendi üzerine kapanır (eliptik geometri).

Kümeler, bağıntılar ve sayılar

• Venn şemasında kümeler daire ile gösterilir; evrensel küme dış dikdörtgendir.
• Eleman, eşdeğerlik, özdeşlik, kuvvet kümesi, birleşim, kesişim ve kartezyen çarpım küme terimleridir.
• Simetri (evrilebilirlik): xRy ise yRx; çevirmede özne ile yüklem yer değiştirir.
• Geçişlilik bağıntı özelliğidir, küme terimi değildir.
• Karmaşık sayılarda kök alma dahil işlemler kısıtsız yapılır.

Diğer düşünürler ve akımlar

• Wittgenstein'ın Tractatus'u dil-dünya resmetme ilişkisini işler; dilin sınırları dünyanın sınırlarıdır.
• Lewis kipli (modal) mantığa çağdaş ilgiyi başlatmış, Sembolik Mantık Araştırması'nı yazmıştır.
• Peirce pragmatizmin kurucusudur; Quine mantığı klasik iki değerli birinci dereceden mantıkla sınırlamıştır.
• Montucla Matematik Tarihi'nin, Laplace Gök Mekaniği'nin yazarıdır; Lesniewski mereolojinin sahibidir.

Tümdengelim

Genel doğru önermeden zorunlu olarak özel sonuca varan akıl yürütme.

Kıyas

İki öncülden zorunlu sonuç çıkarılan Aristotelesçi çıkarım biçimi.

Üçüncü hâlin imkânsızlığı

Bir önermenin ya doğru ya yanlış olması, üçüncü seçeneğin bulunmaması.

Simetri (evrilebilirlik)

xRy olduğunda yRx de olması; yön çevrilince doğruluk değişmez.

Tekil terim

Yalnızca belirli bir bireyi gösteren terim, örneğin İstanbul.

Postulat

Geometride kanıtsız kabul edilen, apaçık sayılan önerme.

Eksiklik teoremi

Aritmetiği içeren tutarlı sistemde sistem içinde ispatlanamayan doğru ifadeler bulunduğunu söyler.

Mantıkçılık

Matematiğin mantıksal ilkelerden türetilebileceğini savunan görüş.

Tipler kuramı

Russell'ın kendine gönderimli çelişkileri engelleyen kuramı.

Kısırdöngü

Küme paradokslarının doğmasına yol açan etken.

Turing makinesi

Hesaplanabilirliği tanımlayan, sonsuz şeritli soyut makine modeli.

Doğruluk tablosu

Bileşik önermenin olası tüm doğruluk değeri bileşimlerini gösteren tablo.

• Yazar-eser eşleşmeleri sık sorulur: Boole (Mantığın Matematiksel Analizi, Düşünce Yasaları), Frege (Begriffsschrift), Saccheri (Kanıtlama Mantığı), Montucla (Matematik Tarihi).
• Principia Mathematica Whitehead ve Russell'ındır; tipler kuramı Russell'a, yüklemler mantığı Frege'ye, kipli mantığa ilgi Lewis'e bağlanır.
• Simetri ile geçişliliği karıştırmamak gerekir; geçişlilik küme terimi değil bağıntı özelliğidir.
• Olumsuz ifade sorularında (değildir, yer almaz) Kopernik, Trigonometri, Doğal sayılar ve iki paralel ifadesi gibi dışarıda kalan seçenek aranır.