AUZEF Modern Mantık Çıkmış Sorular

Modern Mantık dersi; önermeler ve bağlaçlar, doğruluk tabloları, geçerlilik ve tutarlılık, Quine ve çözümleyici çizelge gibi sınama yöntemleri, niceleme, Polonya gösterimi ve çok değerli mantığı kapsar. Klasik Aristoteles mantığından sembolik ve çok değerli sistemlere geçişi anlatır.

Temel ilkeler ve klasik önerme türleri

• Üçüncü halin olanaksızlığına göre önerme ya doğrudur ya yanlıştır; belirsiz gibi üçüncü bir değer bulunmaz.
• Çelişmezlik ilkesine göre bir şey aynı anda hem kendisi hem kendisi olmayan olamaz.
• Klasik önermeler nicelik ve niteliğe göre ayrılır: SaP tümel olumlu, SeP tümel olumsuz, SiP tikel olumlu, SoP tikel olumsuz.
• SuP gibi bir önerme türü yoktur; Tüzel de mantıksal önerme türü değildir.
• Mantık, düşünce ve çıkarımları biçimsel kurallarla denetlenebilir kılar.

Bağlaçlar ve doğruluk tabloları

• Ve (∧) iki önermenin birlikte doğru olmasını, ise (→) koşul ilişkisini, ancak ve ancak (↔) karşılıklı gerektirmeyi anlatır.
• Koşullu önerme yalnızca öncül doğru, sonuç yanlış iken yanlıştır; öncül yanlışsa ifade doğrudur.
• Değilleme değerleri tersine çevirir; iki kez değilleme ifadeyi değiştirmez.
• Tablolar p ve q için DD, DY, YD, YY sırasıyla okunur; ~p ↔ q sütunu Y, D, D, Y çıkar.
• (q ↔ ~q) her zaman yanlıştır; bu yüzden (q ↔ ~q) ∨ (p → q) ifadesi p → q gibi davranır.

Geçerlilik, tutarlılık ve eşdeğerlik

• Her yorumlamada doğru olan ifade geçerli, en az bir yorumlamada doğru olan ifade tutarlıdır.
• Sonuç sütununda hem doğru hem yanlış varsa ifade geçersiz ama tutarlıdır; ~p ↔ q buna örnektir.
• De Morgan: ~(A ∧ B) = (~A ∨ ~B) ve ~(A ∨ B) = (~A ∧ ~B); her iki bileşenin de değili alınmalıdır.
• (A → B) = (~A ∨ B) ve (A ↔ B) = (A → B) ∧ (B → A) doğru denkliklerdir.
• İki ifade her durumda aynı değeri alıyorsa özdeştir; (p → q) ∨ r ile (~p ∨ q) ∨ r özdeştir.

Sınama yöntemleri

• Quine yönteminde değişkenlere sırayla D ve Y verilip ifade sadeleştirilir; totolojide sonuç hep D çıkar, Y adımı görülmez.
• Saçmaya indirgemede ifadeyi yanlış yapacak değerler aranır; (~p ∨ p) → q yanlış olacaksa q yanlış olmalıdır.
• İlk adımda doğru değeri elde edilebiliyorsa çıkarım tutarlıdır.
• Çözümleyici çizelgede veya ve ise bağlaçları çatal açar; ve bağlacı alt alta yazılır.
• (p → q) ∧ (q → r) ve (p → q) ∨ (q → r) için toplam üç çatallanma gerekir.
• Tam normal biçimde üç değişkenli ifadenin sekiz üçlüsü vardır; özdeşlikte sonuç satırında sekiz üçlü bulunur, geçersizlik ve özdeş olmamada en çok yedi.

Lukasiewicz-Tarski (Polonya) gösterimi

• Bağlaçlar önermelerin soluna, yani başa yazılır.
• N değil, K ve, A veya, C ise, E ancak ve ancak anlamına gelir.
• ~p → (q ∨ ~r) ifadesi CNpAqNr, ~(p ↔ ~q) ifadesi NEpNq olur.
• (p ∧ q) → r ifadesi CKpqr; (p ↔ ~q) ifadesi EpNq biçiminde yazılır.
• Bu gösterim mantık işlemlerinin bilgisayar diline aktarılmasını kolaylaştırır.

Niceleme mantığı

• Bütün ifadesi tümel niceleyici ∀ ile, bazı ya da en az bir ifadesi tikel niceleyici ∃ ile yazılır.
• Bütün insanlar ölümlüdür önermesi ∀x(İx → Öx) biçimindedir.
• Sonlu evrende ∀ ifadesi ve ile, ∃ ifadesi veya ile açılır; ∃y Ty = Ta v Tb v Tc.
• Niceleyici değilleme: ~∀x Fx ≡ ∃x ~Fx ve ~∃x Fx ≡ ∀x ~Fx.
• Tam yansımalı bağıntı ∀x Bxx ile gösterilir.
• ∀x(Fx → Gx) ile ∀x(Fx ∧ Gx) eşdeğer değildir; bu fark ifadeleri özdeş olmaktan çıkarır.

Çok değerli ve modal mantık

• Üç değerli mantığı 1920'de Lukasiewicz kurmuştur; doğru, yanlış ve belirsiz (1/2) değerleri vardır.
• Ve işlemi min(x, y), veya işlemi max(x, y) ile hesaplanır; değilleme 1 − x olur.
• Belirsizin değili yine belirsizdir; B ∨ B = B olur.
• Çok ve az gibi derece bildiren ifadeler iki değerli mantığın dışında kalır.
• Modal mantık zorunluluk, olanaklılık, inanç, bilgi ve zaman kavramlarını işler; yapay zekâda bu yüzden tercih edilir.
• Mantık Yöntemleri (Methods of Logic) adlı yapıt Quine'a aittir.

Totoloji (geçerli ifade)

Tüm doğruluk durumlarında doğru olan ifadedir.

Tutarlı ifade

En az bir doğruluk durumunda doğru olan ifadedir.

Tutarsız ifade

Hiçbir durumda doğru olmayan, yani çelişki oluşturan ifadedir; tam normal biçimi boş çıkar.

Özdeşlik

İki ifadenin tüm durumlarda aynı doğruluk değerini almasıdır.

Quine yöntemi

Değişkenlere D ve Y değerleri verilerek ifadenin adım adım sadeleştirildiği sınama yöntemidir.

Saçmaya indirgeme

İfadenin yanlış olabilmesi için gereken değerler aranarak yapılan sınamadır.

Çözümleyici çizelge

İfadenin bağlaçlarına göre dallanan ağaç biçiminde incelenmesidir.

Tam normal biçim

İfadenin doğru olduğu değer üçlülerinin tek tek yazıldığı gösterimdir.

Tümel niceleyici (∀)

Evrendeki her eleman için geçerlilik bildirir ve ve ile açılır.

Tikel niceleyici (∃)

En az bir eleman için geçerlilik bildirir ve veya ile açılır.

Polonya gösterimi

Bağlacın değişkenlerin önüne yazıldığı Lukasiewicz-Tarski yazım biçimidir.

Üç değerli mantık

Doğru ve yanlışa belirsiz değerini ekleyen, Lukasiewicz'in kurduğu sistemdir.

• Ise bağlacının yanlış olduğu tek durum D → Y'dir; Y → D ve Y → Y doğrudur.
• De Morgan'da bağlaç değişirken iki bileşenin de değili alınmalıdır; bir bileşeni değillenmemiş şıklar yanlıştır.
• Niceleyici açılımında ∀ için ve, ∃ için veya kullanılır; bunları karıştırmamak gerekir.
• Polonya gösteriminde harfleri ayır: N değil, K ve, A veya, C ise, E ancak ve ancak.
• Geçersiz ile tutarsız farklıdır: sonuç sütununda hem 1 hem 0 varsa ifade geçersiz ama tutarlıdır.