AUZEF Olasılık ve İstatistik Çıkmış Sorular

Ders, verilerin düzenlenmesi ve grafikle gösterilmesi, ortalama ile değişkenlik ölçüleri, olasılık hesapları, kesikli ve sürekli dağılımlar ile hipotez testi hataları konularını kapsar. Sorularda ağırlıkla binom, Poisson ve beklenen değer uygulamaları yer alır.

Seriler ve grafikler

• Sınıflanmış seriler sürekli verilerin aralıklarla özetlendiği tablolardır; en uygun grafik histogramdır.
• Zaman serileri çizgi diyagramıyla, nitel verilerin oranları daire grafiğiyle gösterilir.
• Nokta diyagramı az sayıda ham veri için uygundur.
• Kümülatif seri, belirli bir değere kadar kaç gözlem olduğunu verir ve daha az ya da daha çok karşılaştırması yaptırır.

Ortalamalar ve dağılımın şekli

• Dağılımın şekli çarpıklık, basıklık, momentler ve ortalamaların birbirine göre konumuyla incelenir.
• Aritmetik ortalamadan sapmaların toplamı her seride sıfırdır; pozitif ve negatif sapmalar birbirini götürür.
• Geometrik ortalama değerlerin çarpımının kökünden bulunur; {10, 100, 1000} için 100, aritmetik ortalama ise 370'tir.

Değişkenlik ölçüleri

• Değişim aralığı (açıklık), en büyük ile en küçük değer arasındaki farktır ve yayılım hakkında en basit bilgiyi verir.
• Varyans, E[X²] ile E[X]'in karesi arasındaki fark olarak hesaplanır; standart sapma onun kareköküdür.
• Değişim katsayısı, birimleri ya da ortalamaları farklı serilerin değişkenliğini oransal olarak karşılaştırır.
• Değişim katsayısının hangi ortalamanın seçileceğine karar vermeyle ilgisi yoktur.

Beklenen değer ve olasılık yoğunluğu

• Beklenen değer, her sonucun değeri ile olasılığının çarpımlarının toplamıdır.
• Petrol sondajı örneğinde zarar sonucu eksi işaretle katılır ve beklenen kazanç 72.500 $ bulunur.
• Kesikli bir değişkende varyans için önce E[X], sonra E[X²] hesaplanır.
• Sürekli yoğunluk fonksiyonunda aynı varyans formülü integrallerle uygulanır; f(x)=(x+3)/36 için varyans 2,75'tir.

Temel olasılık hesapları

• Yazı tura sorularında tüm durum sayısı 2'nin n'inci kuvvetidir; uygun durumlar kombinasyonla sayılır.
• 'En az bir' türü sorularda tümleyen olay kullanılır: 1 eksi hiç gelmeme olasılığı.
• Zarın 4 atışında en az bir 6 gelme olasılığı yaklaşık 0,5177'dir.
• Koşullu olasılıkta Bayes teoremi kullanılır; önce toplam olasılık bulunur, sonra ilgili kesişim ona bölünür.

Binom ve Poisson dağılımları

• Binom dağılımı sabit olasılıklı, sayılı denemelerde başarı sayısını modeller; ortalaması n·p, varyansı n·p·q'dur.
• Hilesiz para 64 kez atılırsa tura sayısının varyansı 16, standart sapması 4'tür.
• İadeli çekimde her çekim bağımsız olduğundan binom uygulanır.
• n büyük, p küçükse Poisson yaklaşımı kullanılır; λ = n·p alınır.
• Kesikli dağılımlar sayılabilir değer alır; binom ve Poisson buna örnektir.

Sürekli dağılım, örnekleme ve hatalar

• Normal dağılım boy, kilo, sıcaklık gibi ölçümleri modeller, çan eğrisiyle gösterilir ve eğri altı alan 1'dir.
• Örneklemden hesaplanan değere örneklem tahmini (istatistik) denir.
• Hatalar sistematik ve tesadüfi diye ikiye ayrılır; tesadüfi hatalar örneklem büyüdükçe birbirini dengeler.
• Hipotez testinde iki hata vardır: Tip I doğru H0'ın reddi, Tip II yanlış H0'ın kabulüdür.

Tip I hata (α)

Doğru olan sıfır hipotezinin reddedilmesidir.

Tip II hata (β)

Yanlış olan sıfır hipotezinin kabul edilmesidir.

Histogram

Sınıflanmış serilerin sınıf aralıklarına göre çizilen sütun grafiğidir.

Kümülatif seri

Belirli bir değere kadar olan gözlem sayılarını biriktirerek gösteren seridir.

Değişim aralığı

En büyük ve en küçük değer arasındaki farktır.

Değişim katsayısı

Farklı birimli ya da ortalamalı serilerin değişkenliğini oransal karşılaştırır.

Beklenen değer

Sonuçların değerleri ile olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Binom dağılımı

Sabit başarı olasılıklı bağımsız denemelerde başarı sayısının dağılımıdır.

Poisson yaklaşımı

Deneme sayısı büyük, olasılık küçük olduğunda λ = n·p ile kullanılan dağılımdır.

Sürekli dağılım

Ölçülebilir, sonsuz hassasiyette değer alan değişkenleri modelleyen dağılımdır; normal dağılım örnektir.

Örneklem tahmini

Ana kütleden seçilen gruptan elde edilen değerdir.

Sistematik hata

Her ölçümde aynı yönde sapma yaratan, örneklem büyüse de dengelenmeyen hatadır.

• Tip I ve Tip II hata karıştırılmamalı: biri doğru H0'ı reddetmek, diğeri yanlış H0'ı kabul etmektir.
• Binom ile Poisson seçiminde n büyük ve p çok küçükse Poisson, n küçük ve p belirgin ise binom düşünülmelidir.
• Sapmaların toplamı sorularında hesap yapmadan cevap sıfırdır.
• 'En az bir' ifadesi görülünce tümleyen olaya geçmek işlemi kısaltır.
• Şıklar yuvarlama farkı içerebilir; hesaplanan değere en yakın şık seçilmelidir.